left(2x-3right)^2=49 lösen

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Nach x auflösen

$$x=5$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Subtrahieren Sie 49 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Subtrahieren Sie 49 von 9, um -40 zu erhalten.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$1,-10 2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-5 b=2$$

x^{2}-3x-10 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Subtrahieren Sie 49 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Subtrahieren Sie 49 von 9, um -40 zu erhalten.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -12 und c durch -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 144 zu 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±28}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie 40 durch 8.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±28}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie -16 durch 8.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 49, um 40 zu erhalten.

$$4x^{2}-12x=40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Dividieren Sie -12 durch 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Dividieren Sie 40 durch 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=-2$$