{left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2 lösen

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie 0 und 5, um 0 zu erhalten.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Eine beliebige Zahl mal null ergibt null.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 0 mit 2, und erhalten Sie 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(5-15x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Addieren Sie 0 und 25, um 25 zu erhalten.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(1+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 1 von 25, um 24 zu erhalten.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Kombinieren Sie -150x und -2x, um -152x zu erhalten.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 225x^{2} und -x^{2}, um 224x^{2} zu erhalten.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 224, b durch -152 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

-152 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplizieren Sie -896 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Addieren Sie 23104 zu -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Das Gegenteil von -152 ist 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{152±40}{448}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 152 zu 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{192}{448} um den niedrigsten Term, indem Sie 64 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{152±40}{448}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{112}{448} um den niedrigsten Term, indem Sie 112 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie 0 und 5, um 0 zu erhalten.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Eine beliebige Zahl mal null ergibt null.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 0 mit 2, und erhalten Sie 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(5-15x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Addieren Sie 0 und 25, um 25 zu erhalten.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(1+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Kombinieren Sie -150x und -2x, um -152x zu erhalten.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Kombinieren Sie 225x^{2} und -x^{2}, um 224x^{2} zu erhalten.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Subtrahieren Sie 25 von 1, um -24 zu erhalten.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Division durch 224 macht die Multiplikation mit 224 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-152}{224} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{224} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Dividieren Sie -\frac{19}{28}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{56} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{56} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{56}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Addieren Sie -\frac{3}{28} zu \frac{361}{3136}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Addieren Sie \frac{19}{56} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$