sqrt{5-2x}-sqrt{x+6}=sqrt{x+3} lösen

$$\sqrt{ 5-2x } - \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+3 }$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{5-2x} mit 2, und erhalten Sie 5-2x.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+6} mit 2, und erhalten Sie x+6.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Kombinieren Sie -2x und x, um -x zu erhalten.

$$5-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Addieren Sie 5 und 6, um 11 zu erhalten.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+3} mit 2, und erhalten Sie x+3.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3$$

11-x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-\left(11-x\right)$$

Um das Gegenteil von "11-x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-11+x$$

Subtrahieren Sie 11 von 3, um -8 zu erhalten.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x-8+x$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=2x-8$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{5-2x} mit 2, und erhalten Sie 5-2x.

$$4\left(5-2x\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+6} mit 2, und erhalten Sie x+6.

$$4\left(5-2x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit 5-2x zu multiplizieren.

$$\left(20-8x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 20-8x mit jedem Term von x+6 multiplizieren.

$$20x+120-8x^{2}-48x=\left(2x-8\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 20x und -48x, um -28x zu erhalten.

$$-28x+120-8x^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

\left(2x-8\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$-28x+120-8x^{2}=4x^{2}-32x+64$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$-28x+120-8x^{2}-4x^{2}=-32x+64$$

Kombinieren Sie -8x^{2} und -4x^{2}, um -12x^{2} zu erhalten.

$$-28x+120-12x^{2}=-32x+64$$

Auf beiden Seiten 32x addieren.

$$-28x+120-12x^{2}+32x=64$$

Kombinieren Sie -28x und 32x, um 4x zu erhalten.

$$4x+120-12x^{2}=64$$

Subtrahieren Sie 64 von beiden Seiten.

$$4x+120-12x^{2}-64=0$$

Subtrahieren Sie 64 von 120, um 56 zu erhalten.

$$4x+56-12x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x+14-3x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}+x+14=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-3\times 14=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=7 b=-6$$

-3x^{2}+x+14 als \left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(3x-7\right)-2\left(3x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-7=0 und -x-2=0.

$$x=\frac{7}{3} x=-2$$

Ersetzen Sie x durch \frac{7}{3} in der Gleichung \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\times \frac{7}{3}}-\sqrt{\frac{7}{3}+6}=\sqrt{\frac{7}{3}+3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{7}{3} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch -2 in der Gleichung \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\left(-2\right)}-\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=-2 entspricht der Formel.

$$1=1$$

Formel -\sqrt{x+6}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{x+3} hat eine eigene Lösung.

$$x=-2$$