sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3 lösen

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Nach y auflösen

$$y=6$$

$$y=2$$

Lösungsschritte

-\sqrt{y-2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{4y+1} mit 2, und erhalten Sie 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{y-2} mit 2, und erhalten Sie y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Subtrahieren Sie 2 von 9, um 7 zu erhalten.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

7+y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Um das Gegenteil von "7+y" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Subtrahieren Sie 7 von 1, um -6 zu erhalten.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Kombinieren Sie 4y und -y, um 3y zu erhalten.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

\left(3y-6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 6 mit 2, und erhalten Sie 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{y-2} mit 2, und erhalten Sie y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 36 mit y-2 zu multiplizieren.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Subtrahieren Sie 36y von beiden Seiten.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Kombinieren Sie -36y und -36y, um -72y zu erhalten.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Auf beiden Seiten 72 addieren.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Addieren Sie 36 und 72, um 108 zu erhalten.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

y^{2}-8y+12 als \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-6=0 und y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Ersetzen Sie y durch 6 in der Gleichung \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Vereinfachen. Der Wert y=6 entspricht der Formel.

$$3=3$$

Ersetzen Sie y durch 2 in der Gleichung \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Vereinfachen. Der Wert y=2 entspricht der Formel.

$$3=3$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$