sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5} lösen

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Nach x auflösen

$$x=14$$

$$x=6$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-3} mit 2, und erhalten Sie 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-5} mit 2, und erhalten Sie x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 4, um -1 zu erhalten.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

-1+x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Um das Gegenteil von "-1+x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Addieren Sie -3 und 1, um -2 zu erhalten.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kombinieren Sie 2x und -x, um x zu erhalten.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\left(x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-5} mit 2, und erhalten Sie x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 16 mit x-5 zu multiplizieren.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Subtrahieren Sie 16x von beiden Seiten.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kombinieren Sie -4x und -16x, um -20x zu erhalten.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Auf beiden Seiten 80 addieren.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Addieren Sie 4 und 80, um 84 zu erhalten.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-20x+84 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=84$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 84 ergeben.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-14 b=-6$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-14=0 und x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Ersetzen Sie x durch 14 in der Gleichung \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Vereinfachen. Der Wert x=14 entspricht der Formel.

$$5=5$$

Ersetzen Sie x durch 6 in der Gleichung \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Vereinfachen. Der Wert x=6 entspricht der Formel.

$$3=3$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$