sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2} lösen

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=-1$$

Lösungsschritte

\sqrt{1+x} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{1-x} mit 2, und erhalten Sie 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{1+x} mit 2, und erhalten Sie 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

3+x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Um das Gegenteil von "3+x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Subtrahieren Sie 3 von 1, um -2 zu erhalten.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kombinieren Sie -x und -x, um -2x zu erhalten.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\left(-2-2x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multiplizieren Sie 4 und 2, um 8 zu erhalten.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{1+x} mit 2, und erhalten Sie 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8 mit 1+x zu multiplizieren.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Subtrahieren Sie 8 von 4, um -4 zu erhalten.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Subtrahieren Sie 8x von beiden Seiten.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Kombinieren Sie 8x und -8x, um 0 zu erhalten.

$$-4+4x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Betrachten Sie -1+x^{2}. -1+x^{2} als x^{2}-1^{2} umschreiben. Die Differenz der Quadrate kann mithilfe der Regel faktorisiert werden: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Ersetzen Sie x durch 1 in der Gleichung \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Vereinfachen. Der Wert x=1 entspricht der Formel.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch -1 in der Gleichung \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Vereinfachen. Der Wert x=-1 entspricht der Formel.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$