sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x lösen

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 4 ist 4. Konvertiert \frac{1}{2} und \frac{1}{4} in Brüche mit dem Nenner 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{2}{4} und \frac{1}{4} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 8 ist 8. Konvertiert \frac{3}{4} und \frac{1}{8} in Brüche mit dem Nenner 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{6}{8} und \frac{1}{8} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addieren Sie 6 und 1, um 7 zu erhalten.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 16 ist 16. Konvertiert \frac{7}{8} und \frac{1}{16} in Brüche mit dem Nenner 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{14}{16} und \frac{1}{16} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Addieren Sie 14 und 1, um 15 zu erhalten.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} mit 2, und erhalten Sie \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch \frac{1}{2} und c durch \frac{15}{16}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{15}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{1}{2} zu 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Dividieren Sie \frac{3}{2} durch -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2} durch -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Ersetzen Sie x durch -\frac{3}{4} in der Gleichung \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Vereinfachen. Der Wert x=-\frac{3}{4} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{5}{4} in der Gleichung \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{5}{4} entspricht der Formel.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Formel \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x hat eine eigene Lösung.

$$x=\frac{5}{4}$$