sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2 lösen

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

Lösungsschritte

\sqrt{2x-2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-3} mit 2, und erhalten Sie x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-2} mit 2, und erhalten Sie 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Subtrahieren Sie 2 von 4, um 2 zu erhalten.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

2+2x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Um das Gegenteil von "2+2x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Subtrahieren Sie 2 von -3, um -5 zu erhalten.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Kombinieren Sie x und -2x, um -x zu erhalten.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\left(-x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-2} mit 2, und erhalten Sie 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 16 mit 2x-2 zu multiplizieren.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Subtrahieren Sie 32x von beiden Seiten.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Kombinieren Sie 10x und -32x, um -22x zu erhalten.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Auf beiden Seiten 32 addieren.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Addieren Sie 25 und 32, um 57 zu erhalten.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-22x+57 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-22 ab=57$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 57 ergeben.

$$-1,-57 -3,-19$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -22 ergibt.

$$a=-19 b=-3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-19=0 und x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Ersetzen Sie x durch 19 in der Gleichung \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Vereinfachen. Der Wert x=19 erfüllt nicht die Gleichung.

$$10=2$$

Ersetzen Sie x durch 3 in der Gleichung \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Vereinfachen. Der Wert x=3 entspricht der Formel.

$$2=2$$

Formel \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 hat eine eigene Lösung.

$$x=3$$