sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3} lösen

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Addieren Sie -1 und 4, um 3 zu erhalten.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+3} mit 2, und erhalten Sie x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x+3 zu multiplizieren.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

x+3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Um das Gegenteil von "x+3" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Kombinieren Sie 4x und -x, um 3x zu erhalten.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 12, um 9 zu erhalten.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 16 mit x-1 zu multiplizieren.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

\left(3x+9\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Subtrahieren Sie 54x von beiden Seiten.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Kombinieren Sie 16x und -54x, um -38x zu erhalten.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Subtrahieren Sie 81 von beiden Seiten.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Subtrahieren Sie 81 von -16, um -97 zu erhalten.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch -38 und c durch -97, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

-38 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 36 mit -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Addieren Sie 1444 zu -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Das Gegenteil von -38 ist 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 38 zu 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Dividieren Sie 38+32i\sqrt{2} durch -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 32i\sqrt{2} von 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Dividieren Sie 38-32i\sqrt{2} durch -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} in der Gleichung \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} entspricht der Formel.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} in der Gleichung \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} erfüllt nicht die Gleichung.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} in der Gleichung \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} entspricht der Formel.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Formel \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} hat eine eigene Lösung.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$