sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1} lösen

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x^{2}-1} mit 2, und erhalten Sie x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x+1} mit 2, und erhalten Sie 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -2 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{3} durch 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{3} durch 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ersetzen Sie x durch \sqrt{3}+1 in der Gleichung \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\sqrt{3}+1 entspricht der Formel.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch 1-\sqrt{3} in der Gleichung \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Vereinfachen. Der Wert x=1-\sqrt{3} entspricht der Formel.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x^{2}-1} mit 2, und erhalten Sie x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x+1} mit 2, und erhalten Sie 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -2 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{3} durch 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{3} durch 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ersetzen Sie x durch \sqrt{3}+1 in der Gleichung \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\sqrt{3}+1 entspricht der Formel.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch 1-\sqrt{3} in der Gleichung \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Der Ausdruck \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} ist nicht definiert, da der radikand nicht negativ sein darf.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Formel \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} hat eine eigene Lösung.

$$x=\sqrt{3}+1$$