sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11} lösen

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+3} mit 2, und erhalten Sie x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+6} mit 2, und erhalten Sie x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Addieren Sie 3 und 6, um 9 zu erhalten.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+11} mit 2, und erhalten Sie x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

2x+9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Um das Gegenteil von "2x+9" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Kombinieren Sie x und -2x, um -x zu erhalten.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 11, um 2 zu erhalten.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+3} mit 2, und erhalten Sie x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+6} mit 2, und erhalten Sie x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x+3 zu multiplizieren.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 4x+12 mit jedem Term von x+6 multiplizieren.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 24x und 12x, um 36x zu erhalten.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

\left(-x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Auf beiden Seiten 4x addieren.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Kombinieren Sie 36x und 4x, um 40x zu erhalten.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 72, um 68 zu erhalten.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+68 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 204 ergeben.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 40 ergibt.

$$a=6 b=34$$

3x^{2}+40x+68 als \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 34 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+2=0 und 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Ersetzen Sie x durch -\frac{34}{3} in der Gleichung \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Der Ausdruck \sqrt{-\frac{34}{3}+3} ist nicht definiert, da der radikand nicht negativ sein darf.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Ersetzen Sie x durch -2 in der Gleichung \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Vereinfachen. Der Wert x=-2 entspricht der Formel.

$$3=3$$

Formel \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} hat eine eigene Lösung.

$$x=-2$$