sqrt{7x+67}=2x+5 lösen

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{7x+67} mit 2, und erhalten Sie 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

\left(2x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Subtrahieren Sie 20x von beiden Seiten.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Kombinieren Sie 7x und -20x, um -13x zu erhalten.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Subtrahieren Sie 25 von 67, um 42 zu erhalten.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -4x^{2}+ax+bx+42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -168 ergeben.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=8 b=-21$$

-4x^{2}-13x+42 als \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right) umschreiben.

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 21 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+2=0 und 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Ersetzen Sie x durch 2 in der Gleichung \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Vereinfachen. Der Wert x=2 entspricht der Formel.

$$9=9$$

Ersetzen Sie x durch -\frac{21}{4} in der Gleichung \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Vereinfachen. Der Wert x=-\frac{21}{4} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Formel \sqrt{7x+67}=2x+5 hat eine eigene Lösung.

$$x=2$$