sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 lösen

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Lösungsschritte

-\sqrt{15+x^{2}} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{25-x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{15+x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Addieren Sie 16 und 15, um 31 zu erhalten.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

31+x^{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Um das Gegenteil von "31+x^{2}" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Subtrahieren Sie 31 von 25, um -6 zu erhalten.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 8 mit 2, und erhalten Sie 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{15+x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 64 mit 15+x^{2} zu multiplizieren.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Subtrahieren Sie 960 von beiden Seiten.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Subtrahieren Sie 960 von 36, um -924 zu erhalten.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Subtrahieren Sie 64x^{2} von beiden Seiten.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 24x^{2} und -64x^{2}, um -40x^{2} zu erhalten.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Ersetzen Sie x^{2} durch t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -40 und c durch -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Berechnungen ausführen.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Lösen Sie die Gleichung t=\frac{40±128}{8}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$t=21 t=-11$$

Da x=t^{2}, werden die Lösungen durch die Auswertung x=±\sqrt{t} für jede t abgerufen.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Ersetzen Sie x durch -\sqrt{21} in der Gleichung \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vereinfachen. Der Wert x=-\sqrt{21} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$-4=4$$

Ersetzen Sie x durch \sqrt{21} in der Gleichung \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vereinfachen. Der Wert x=\sqrt{21} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$-4=4$$

Ersetzen Sie x durch -\sqrt{11}i in der Gleichung \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vereinfachen. Der Wert x=-\sqrt{11}i entspricht der Formel.

$$4=4$$

Ersetzen Sie x durch \sqrt{11}i in der Gleichung \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vereinfachen. Der Wert x=\sqrt{11}i entspricht der Formel.

$$4=4$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$