sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3} lösen

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Nach x auflösen

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8,198901107$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-9} mit 2, und erhalten Sie 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-3} mit 2, und erhalten Sie x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 25, um 22 zu erhalten.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

22+x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Um das Gegenteil von "22+x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Subtrahieren Sie 22 von -9, um -31 zu erhalten.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Kombinieren Sie 2x und -x, um x zu erhalten.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

\left(x-31\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-3} mit 2, und erhalten Sie x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 100 mit x-3 zu multiplizieren.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Subtrahieren Sie 100x von beiden Seiten.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Kombinieren Sie -62x und -100x, um -162x zu erhalten.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Auf beiden Seiten 300 addieren.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Addieren Sie 961 und 300, um 1261 zu erhalten.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -162 und c durch 1261, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

-162 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Addieren Sie 26244 zu -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

Das Gegenteil von -162 ist 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 162 zu 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Dividieren Sie 162+20\sqrt{53} durch 2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20\sqrt{53} von 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Dividieren Sie 162-20\sqrt{53} durch 2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Ersetzen Sie x durch 10\sqrt{53}+81 in der Gleichung \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=10\sqrt{53}+81 erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch 81-10\sqrt{53} in der Gleichung \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Vereinfachen. Der Wert x=81-10\sqrt{53} entspricht der Formel.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

Formel \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 hat eine eigene Lösung.

$$x=81-10\sqrt{53}$$