sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x} lösen

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Nach x auflösen

$$x=5$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-1} mit 2, und erhalten Sie 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und x, um 3x zu erhalten.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{6-x} mit 2, und erhalten Sie 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

3x-2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Um das Gegenteil von "3x-2" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Kombinieren Sie -x und -3x, um -4x zu erhalten.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Addieren Sie 6 und 2, um 8 zu erhalten.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie -2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x-1} mit 2, und erhalten Sie 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit 2x-1 zu multiplizieren.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 8x-4 mit jedem Term von x-1 multiplizieren.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Kombinieren Sie -8x und -4x, um -12x zu erhalten.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

\left(8-4x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Subtrahieren Sie 64 von beiden Seiten.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Subtrahieren Sie 64 von 4, um -60 zu erhalten.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Auf beiden Seiten 64x addieren.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Kombinieren Sie -12x und 64x, um 52x zu erhalten.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Subtrahieren Sie 16x^{2} von beiden Seiten.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 8x^{2} und -16x^{2}, um -8x^{2} zu erhalten.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=10 b=3$$

-2x^{2}+13x-15 als \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+5=0 und 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Ersetzen Sie x durch 5 in der Gleichung \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Vereinfachen. Der Wert x=5 entspricht der Formel.

$$1=1$$

Ersetzen Sie x durch \frac{3}{2} in der Gleichung \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{3}{2} erfüllt nicht die Gleichung.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch 5 in der Gleichung \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Vereinfachen. Der Wert x=5 entspricht der Formel.

$$1=1$$

Formel \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} hat eine eigene Lösung.

$$x=5$$