sqrt{2x+7}-3x+1=x-1 lösen

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Lösungsschritte

-3x+1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "-3x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Das Gegenteil von -3x ist 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Kombinieren Sie x und 3x, um 4x zu erhalten.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x+7} mit 2, und erhalten Sie 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

\left(4x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Subtrahieren Sie 16x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Auf beiden Seiten 16x addieren.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Kombinieren Sie 2x und 16x, um 18x zu erhalten.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 7, um 3 zu erhalten.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -16, b durch 18 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 324 zu 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -18 zu 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Dividieren Sie -18+2\sqrt{129} durch -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{129} von -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Dividieren Sie -18-2\sqrt{129} durch -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{9-\sqrt{129}}{16} in der Gleichung \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{\sqrt{129}+9}{16} in der Gleichung \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} entspricht der Formel.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Formel \sqrt{2x+7}=4x-2 hat eine eigene Lösung.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$