sqrt{2x+3}-sqrt{x-1}=sqrt{3x-8} lösen

$$\sqrt { 2 x + 3 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 3 x - 8 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Lösungsschritte

-\sqrt{x-1} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x-8}+\sqrt{x-1}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x-8}+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{2x+3} mit 2, und erhalten Sie 2x+3.

$$2x+3=\left(\sqrt{3x-8}+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{3x-8}+\sqrt{x-1}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x+3=\left(\sqrt{3x-8}\right)^{2}+2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{3x-8} mit 2, und erhalten Sie 3x-8.

$$2x+3=3x-8+2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$2x+3=3x-8+2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}+x-1$$

Kombinieren Sie 3x und x, um 4x zu erhalten.

$$2x+3=4x-8+2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -8, um -9 zu erhalten.

$$2x+3=4x-9+2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}$$

4x-9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x+3-\left(4x-9\right)=2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}$$

Um das Gegenteil von "4x-9" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x+3-4x+9=2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}$$

Kombinieren Sie 2x und -4x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+3+9=2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}$$

Addieren Sie 3 und 9, um 12 zu erhalten.

$$-2x+12=2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-2x+12\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(-2x+12\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-48x+144=\left(2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(2\sqrt{3x-8}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-48x+144=2^{2}\left(\sqrt{3x-8}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4x^{2}-48x+144=4\left(\sqrt{3x-8}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{3x-8} mit 2, und erhalten Sie 3x-8.

$$4x^{2}-48x+144=4\left(3x-8\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x-1} mit 2, und erhalten Sie x-1.

$$4x^{2}-48x+144=4\left(3x-8\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit 3x-8 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-48x+144=\left(12x-32\right)\left(x-1\right)$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 12x-32 mit jedem Term von x-1 multiplizieren.

$$4x^{2}-48x+144=12x^{2}-12x-32x+32$$

Kombinieren Sie -12x und -32x, um -44x zu erhalten.

$$4x^{2}-48x+144=12x^{2}-44x+32$$

Subtrahieren Sie 12x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}-48x+144-12x^{2}=-44x+32$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -12x^{2}, um -8x^{2} zu erhalten.

$$-8x^{2}-48x+144=-44x+32$$

Auf beiden Seiten 44x addieren.

$$-8x^{2}-48x+144+44x=32$$

Kombinieren Sie -48x und 44x, um -4x zu erhalten.

$$-8x^{2}-4x+144=32$$

Subtrahieren Sie 32 von beiden Seiten.

$$-8x^{2}-4x+144-32=0$$

Subtrahieren Sie 32 von 144, um 112 zu erhalten.

$$-8x^{2}-4x+112=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$-2x^{2}-x+28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=-2\times 28=-56$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=7 b=-8$$

-2x^{2}-x+28 als \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-8x+28\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-8x+28\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(2x-7\right)-4\left(2x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-7=0 und -x-4=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-4$$

Ersetzen Sie x durch -4 in der Gleichung \sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-8}. Der Ausdruck \sqrt{2\left(-4\right)+3} ist nicht definiert, da der radikand nicht negativ sein darf.

$$\sqrt{2\left(-4\right)+3}-\sqrt{-4-1}=\sqrt{3\left(-4\right)-8}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{7}{2} in der Gleichung \sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-8}.

$$\sqrt{2\times \frac{7}{2}+3}-\sqrt{\frac{7}{2}-1}=\sqrt{3\times \frac{7}{2}-8}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{7}{2} entspricht der Formel.

$$\frac{1}{2}\times 10^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 10^{\frac{1}{2}}$$

Formel \sqrt{2x+3}=\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-8} hat eine eigene Lösung.

$$x=\frac{7}{2}$$