sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2 lösen

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Lösungsschritte

-\sqrt{19-x^{2}} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{15+x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{19-x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Addieren Sie 4 und 19, um 23 zu erhalten.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

23-x^{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Um das Gegenteil von "23-x^{2}" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Subtrahieren Sie 23 von 15, um -8 zu erhalten.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-8+2x^{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{19-x^{2}} mit 2, und erhalten Sie 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 16 mit 19-x^{2} zu multiplizieren.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Subtrahieren Sie 304 von beiden Seiten.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Subtrahieren Sie 304 von 64, um -240 zu erhalten.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Auf beiden Seiten 16x^{2} addieren.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Kombinieren Sie -32x^{2} und 16x^{2}, um -16x^{2} zu erhalten.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Ersetzen Sie x^{2} durch t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -16 und c durch -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Berechnungen ausführen.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Lösen Sie die Gleichung t=\frac{16±64}{8}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$t=10 t=-6$$

Da x=t^{2}, werden die Lösungen durch die Auswertung von x=±\sqrt{t} für positive t abgerufen.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Ersetzen Sie x durch \sqrt{10} in der Gleichung \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Vereinfachen. Der Wert x=\sqrt{10} entspricht der Formel.

$$2=2$$

Ersetzen Sie x durch -\sqrt{10} in der Gleichung \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Vereinfachen. Der Wert x=-\sqrt{10} entspricht der Formel.

$$2=2$$

Auflisten aller Lösungen \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$