{l}{x^2+y^2=4}{x+y=1} lösen

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Nach x, y auflösen

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung und der quadratischen Gleichung

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Lösen Sie x+y=1 für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$x+y=1$$

y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-y+1$$

Ersetzen Sie x durch -y+1 in der anderen Gleichung, y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

-y+1 zum Quadrat.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Addieren Sie y^{2} zu y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1+1\left(-1\right)^{2}, b durch 1\times 1\left(-1\right)\times 2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von 1\times 1\left(-1\right)\times 2 ist 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{7} durch 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{7} durch 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Es gibt zwei Lösungen für y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} und \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Ersetzen Sie in der Gleichung x=-y+1 y durch \frac{1+\sqrt{7}}{2}, um die entsprechende Lösung für x zu finden, die beide Gleichungen erfüllt.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Ersetzen Sie jetzt in der Gleichung x=-y+1 y durch \frac{1-\sqrt{7}}{2}, und lösen Sie auf, um die entsprechende Lösung für x zu finden, die beide Gleichungen erfüllt.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$