{l}{800=x+20y}{700=x+15y} lösen

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Nach x, y auflösen

$$x=400$$

$$y=20$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Betrachten Sie die erste Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+20y=800$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+15y=700$$

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$x+20y=800$$

20y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-20y+800$$

Ersetzen Sie x durch -20y+800 in der anderen Gleichung, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Addieren Sie -20y zu 15y.

$$-5y+800=700$$

800 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-5y=-100$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$y=20$$

Ersetzen Sie in x=-20y+800 y durch 20. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=-20\times 20+800$$

Multiplizieren Sie -20 mit 20.

$$x=-400+800$$

Addieren Sie 800 zu -400.

$$x=400$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=400,y=20$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Betrachten Sie die erste Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+20y=800$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+15y=700$$

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=400,y=20$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Betrachten Sie die erste Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+20y=800$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$x+15y=700$$

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Subtrahieren Sie x+15y=700 von x+20y=800, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Addieren Sie x zu -x. Die Terme x und -x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$20y-15y=800-700$$

Addieren Sie 20y zu -15y.

$$5y=800-700$$

Addieren Sie 800 zu -700.

$$5y=100$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$y=20$$

Ersetzen Sie in x+15y=700 y durch 20. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x+15\times 20=700$$

Multiplizieren Sie 15 mit 20.

$$x+300=700$$

300 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=400$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=400,y=20$$