{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} lösen

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Nach y, x auflösen

$$x=4$$

$$y=3$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Betrachten Sie die erste Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich \frac{4}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2\left(3x-4\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit y+1 zu multiplizieren.

$$2y+2=3x-4$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtrahieren Sie 2 von -4, um -6 zu erhalten.

$$2y-3x=-6$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich -\frac{11}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$5x+y-3x=11$$

Kombinieren Sie 5x und -3x, um 2x zu erhalten.

$$2x+y=11$$

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für y, indem Sie y auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$2y-3x=-6$$

Addieren Sie 3x zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2y=3x-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{2} mit -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Ersetzen Sie y durch \frac{3x}{2}-3 in der anderen Gleichung, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Addieren Sie \frac{3x}{2} zu 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{7}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$x=4$$

Ersetzen Sie in y=\frac{3}{2}x-3 x durch 4. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für y auflösen.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Multiplizieren Sie \frac{3}{2} mit 4.

$$y=6-3$$

Addieren Sie -3 zu 6.

$$y=3$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$y=3,x=4$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Betrachten Sie die erste Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich \frac{4}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2\left(3x-4\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit y+1 zu multiplizieren.

$$2y+2=3x-4$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtrahieren Sie 2 von -4, um -6 zu erhalten.

$$2y-3x=-6$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich -\frac{11}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$5x+y-3x=11$$

Kombinieren Sie 5x und -3x, um 2x zu erhalten.

$$2x+y=11$$

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente y und x.

$$y=3,x=4$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Betrachten Sie die erste Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich \frac{4}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2\left(3x-4\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit y+1 zu multiplizieren.

$$2y+2=3x-4$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$2y+2-3x=-4$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$2y-3x=-4-2$$

Subtrahieren Sie 2 von -4, um -6 zu erhalten.

$$2y-3x=-6$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Die Variable x kann nicht gleich -\frac{11}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$5x+y-3x=11$$

Kombinieren Sie 5x und -3x, um 2x zu erhalten.

$$2x+y=11$$

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Um 2y und y gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 1 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Vereinfachen.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Subtrahieren Sie 2y+4x=22 von 2y-3x=-6, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Addieren Sie 2y zu -2y. Die Terme 2y und -2y heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$-3x-4x=-6-22$$

Addieren Sie -3x zu -4x.

$$-7x=-6-22$$

Addieren Sie -6 zu -22.

$$-7x=-28$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -7.

$$x=4$$

Ersetzen Sie in y+2x=11 x durch 4. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für y auflösen.

$$y+2\times 4=11$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y+8=11$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=3$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$y=3,x=4$$