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$\estwo{\fraction{x}{3} - \fraction{y}{2} = 8}{\fraction{x}{5} + \fraction{y}{3} = 1} $
Nach x, y auflösen
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Diagramm

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2x-3y=48
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3,2.
3x+5y=15
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.
2x-3y=48
Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.
2x=3y+48
Addieren Sie 3y zu beiden Seiten der Gleichung.
x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)
Dividieren Sie beide Seiten durch 2.
x=\frac{3}{2}y+24
Multiplizieren Sie \frac{1}{2} mit 48+3y.
3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15
Ersetzen Sie x durch \frac{3y}{2}+24 in der anderen Gleichung, 3x+5y=15.
\frac{9}{2}y+72+5y=15
Multiplizieren Sie 3 mit \frac{3y}{2}+24.
\frac{19}{2}y+72=15
Addieren Sie \frac{9y}{2} zu 5y.
\frac{19}{2}y=-57
72 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
y=-6
Beide Seiten der Gleichung durch \frac{19}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.
x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24
Ersetzen Sie in x=\frac{3}{2}y+24 y durch -6. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.
x=-9+24
Multiplizieren Sie \frac{3}{2} mit -6.
x=15
Addieren Sie 24 zu -9.
x=15,y=-6
Das System ist jetzt gelöst.
2x-3y=48
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3,2.
3x+5y=15
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) multiplizieren.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Führen Sie die Berechnung aus.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)
Multiplizieren Sie die Matrizen.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)
Führen Sie die Berechnung aus.
x=15,y=-6
Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.
2x-3y=48
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3,2.
3x+5y=15
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15
Um 2x und 3x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 3 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 2.
6x-9y=144,6x+10y=30
Vereinfachen.
6x-6x-9y-10y=144-30
Subtrahieren Sie 6x+10y=30 von 6x-9y=144, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.
-9y-10y=144-30
Addieren Sie 6x zu -6x. Die Terme 6x und -6x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.
-19y=144-30
Addieren Sie -9y zu -10y.
-19y=114
Addieren Sie 144 zu -30.
y=-6
Dividieren Sie beide Seiten durch -19.
3x+5\left(-6\right)=15
Ersetzen Sie in 3x+5y=15 y durch -6. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.
3x-30=15
Multiplizieren Sie 5 mit -6.
3x=45
Addieren Sie 30 zu beiden Seiten der Gleichung.
x=15
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
x=15,y=-6
Das System ist jetzt gelöst.