{l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} lösen

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Nach x, y auflösen

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$2x+4y=2060$$

4y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x=-4y+2060$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{2} mit -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Ersetzen Sie x durch -2y+1030 in der anderen Gleichung, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Multiplizieren Sie 5 mit -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Addieren Sie -10y zu 7y.

$$-3y+5150=1640$$

5150 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3y=-3510$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$y=1170$$

Ersetzen Sie in x=-2y+1030 y durch 1170. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Multiplizieren Sie -2 mit 1170.

$$x=-2340+1030$$

Addieren Sie 1030 zu -2340.

$$x=-1310$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=-1310,y=1170$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=-1310,y=1170$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Um 2x und 5x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 5 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Vereinfachen.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Subtrahieren Sie 10x+14y=3280 von 10x+20y=10300, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Addieren Sie 10x zu -10x. Die Terme 10x und -10x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$20y-14y=10300-3280$$

Addieren Sie 20y zu -14y.

$$6y=10300-3280$$

Addieren Sie 10300 zu -3280.

$$6y=7020$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$y=1170$$

Ersetzen Sie in 5x+7y=1640 y durch 1170. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Multiplizieren Sie 7 mit 1170.

$$5x+8190=1640$$

8190 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x=-6550$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x=-1310$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=-1310,y=1170$$