∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ lösen

$$\int_{ 0 }^{ 2 \pi } \int_{ 0 }^{ 1 } r \sqrt{ 4 { r }^{ 2 } +1 } d r d \theta$$

Auswerten

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5,3304135$$

Lösungsschritte

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Das Integral von \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r finden Sie in der Tabelle der allgemeinen ganzzahligen Regel \int a\mathrm{d}\theta =a\theta .

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

Vereinfachen.

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

Vereinfachen.

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$