∫ (from 1 to 2) of (x^3+5)^2(3x^2) wrt x lösen

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } ) d x$$

Auswerten

$$\frac{1981}{3}\approx 660,333333333$$

Lösungsschritte

\left(x^{3}+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 3 mit 2, um 6 zu erhalten.

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{6}+10x^{3}+25 mit 3 zu multiplizieren.

$$\int _{1}^{2}\left(3x^{6}+30x^{3}+75\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{6}+30x^{3}+75 mit x^{2} zu multiplizieren.

$$\int _{1}^{2}3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int 3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

Summen-Ausdruck nach Ausdruck integrieren.

$$\int 3x^{8}\mathrm{d}x+\int 30x^{5}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x$$

Klammern Sie die Konstanten in jedem Ausdruck aus.

$$3\int x^{8}\mathrm{d}x+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Da \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x^{8}\mathrm{d}x durch \frac{x^{9}}{9}. Multiplizieren Sie 3 mit \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{x^{9}}{3}+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Da \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x^{5}\mathrm{d}x durch \frac{x^{6}}{6}. Multiplizieren Sie 30 mit \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Da \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x^{2}\mathrm{d}x durch \frac{x^{3}}{3}. Multiplizieren Sie 75 mit \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+25x^{3}$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$25\times 2^{3}+5\times 2^{6}+\frac{2^{9}}{3}-\left(25\times 1^{3}+5\times 1^{6}+\frac{1^{9}}{3}\right)$$

Vereinfachen.

$$\frac{1981}{3}$$