∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x lösen

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Auswerten

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Lösungsschritte

\left(4-\sqrt{x}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Potenzieren Sie \sqrt{x} mit 2, und erhalten Sie x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Um das Gegenteil von "16-8\sqrt{x}+x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Subtrahieren Sie 16 von 6, um -10 zu erhalten.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Summen-Ausdruck nach Ausdruck integrieren.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Klammern Sie die Konstanten in jedem Ausdruck aus.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Suchen Sie die Integral -10 mithilfe der Tabelle der allgemeinen von integralen Regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} als x^{\frac{1}{2}} umschreiben. Wenn \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x durch \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Vereinfachen. Multiplizieren Sie 8 mit \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Wenn \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x\mathrm{d}x durch \frac{x^{2}}{2}. Multiplizieren Sie -1 mit \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Vereinfachen.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Vereinfachen.

$$-\frac{16}{3}$$