∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x lösen

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

Auswerten

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

Lösungsschritte

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

Ausklammern der Konstanten mithilfe von \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Wenn \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int x\mathrm{d}x durch \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Vereinfachen.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Vereinfachen.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

W.r.t. h differenzieren

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$