∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr lösen

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Auswerten

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Lösungsschritte

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Summen-Ausdruck nach Ausdruck integrieren.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Klammern Sie die Konstanten in jedem Ausdruck aus.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Wenn \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int r\mathrm{d}r durch \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Wenn \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int r^{2}\mathrm{d}r durch \frac{r^{3}}{3}. Multiplizieren Sie -1 mit \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Vereinfachen.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

W.r.t. x differenzieren

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$