d/dθleft(cos(θ)right) lösen

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

Auswerten

$$-\sin(\theta )$$

Schritte unter Verwendung der Definition einer Ableitung

Für eine Funktion f\left(x\right) ist die Ableitung der Grenzwert von \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, mit h gegen 0, wenn dieser Grenzwert existiert.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Verwenden Sie die Summenformel für Kosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Klammern Sie \cos(\theta ) aus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Verwenden Sie beim Berechnen von Grenzwerten die Tatsache, dass \theta eine Konstante ist, da h gegen 0 geht.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } ist 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Zum Bestimmen des Grenzwerts \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} multiplizieren Sie zunächst den Zähler und Nenner mit \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplizieren Sie \cos(h)+1 mit \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Verwenden Sie den trigonometrischen Pythagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } ist 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Nutzen Sie die Tatsache, dass \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} bei 0 fortlaufend ist.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Setzen Sie den Wert 0 in den Ausdruck \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ) ein.

$$-\sin(\theta )$$

W.r.t. θ differenzieren

$$-\cos(\theta )$$