x-1/2x+1=2x+1/x-1+3 lösen

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{1}{2},1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(2x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplizieren Sie x-1 und x-1, um \left(x-1\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplizieren Sie 2x+1 und 2x+1, um \left(2x+1\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x^{2}-x-1 mit 3 zu multiplizieren.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 6x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombinieren Sie 4x und -3x, um x zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtrahieren Sie 10x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombinieren Sie x^{2} und -10x^{2}, um -9x^{2} zu erhalten.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombinieren Sie -2x und -x, um -3x zu erhalten.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch -3 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 36 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Dividieren Sie 3+3\sqrt{13} durch -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{13} von 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Dividieren Sie 3-3\sqrt{13} durch -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{1}{2},1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(2x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplizieren Sie x-1 und x-1, um \left(x-1\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplizieren Sie 2x+1 und 2x+1, um \left(2x+1\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x^{2}-x-1 mit 3 zu multiplizieren.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 6x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombinieren Sie 4x und -3x, um x zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtrahieren Sie 10x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombinieren Sie x^{2} und -10x^{2}, um -9x^{2} zu erhalten.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombinieren Sie -2x und -x, um -3x zu erhalten.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -2, um -3 zu erhalten.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Division durch -9 macht die Multiplikation mit -9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-3}{-9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-3}{-9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie \frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

\frac{1}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$