x+1/x^2+1-1/2=0 lösen

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2\left(x^{2}+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x+1 zu multiplizieren.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplizieren Sie 2 und -\frac{1}{2}, um -1 zu erhalten.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von 2, um 1 zu erhalten.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{2} durch -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{2} durch -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2\left(x^{2}+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x+1 zu multiplizieren.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplizieren Sie 2 und -\frac{1}{2}, um -1 zu erhalten.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von 2, um 1 zu erhalten.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$2x-x^{2}=-1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 2 durch -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie -1 durch -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Addieren Sie 1 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$