400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11 lösen

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-20,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+20\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 2, um 160 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie x\times 400 und x\times 160, um 560x zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 3, um 240 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+20 mit 240 zu multiplizieren.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie 560x und 240x, um 800x zu erhalten.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 11x mit x+20 zu multiplizieren.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtrahieren Sie 11x^{2} von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtrahieren Sie 220x von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Kombinieren Sie 800x und -220x, um 580x zu erhalten.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -11x^{2}+ax+bx+4800 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -52800 ergeben.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 580 ergibt.

$$a=660 b=-80$$

-11x^{2}+580x+4800 als \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right) umschreiben.

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Klammern Sie 11x in der ersten und 80 in der zweiten Gruppe aus.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+60 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+60=0 und 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-20,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+20\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 2, um 160 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie x\times 400 und x\times 160, um 560x zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 3, um 240 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+20 mit 240 zu multiplizieren.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie 560x und 240x, um 800x zu erhalten.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 11x mit x+20 zu multiplizieren.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtrahieren Sie 11x^{2} von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtrahieren Sie 220x von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Kombinieren Sie 800x und -220x, um 580x zu erhalten.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -11, b durch 580 und c durch 4800, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

580 zum Quadrat.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplizieren Sie 44 mit 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Addieren Sie 336400 zu 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-580±740}{-22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -580 zu 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{160}{-22} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-580±740}{-22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 740 von -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Dividieren Sie -1320 durch -22.

$$x=60$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-20,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+20\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 2, um 160 zu erhalten.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie x\times 400 und x\times 160, um 560x zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividieren Sie 400 durch 5, um 80 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplizieren Sie 80 und 3, um 240 zu erhalten.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+20 mit 240 zu multiplizieren.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Kombinieren Sie 560x und 240x, um 800x zu erhalten.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 11x mit x+20 zu multiplizieren.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtrahieren Sie 11x^{2} von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtrahieren Sie 220x von beiden Seiten.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Kombinieren Sie 800x und -220x, um 580x zu erhalten.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 4800 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Division durch -11 macht die Multiplikation mit -11 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Dividieren Sie 580 durch -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Dividieren Sie -4800 durch -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Dividieren Sie -\frac{580}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{290}{11} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{290}{11} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{290}{11}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Addieren Sie \frac{4800}{11} zu \frac{84100}{121}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Faktor x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Addieren Sie \frac{290}{11} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$