4/x-2-x-3/x-4=0 lösen

$$\frac{ 4 }{ x-2 } - \frac{ x-3 }{ x-4 } =0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}\approx 4,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}\approx 4,5+1,322875656i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x-3 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-5x+6" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Kombinieren Sie 4x und 5x, um 9x zu erhalten.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von -16, um -22 zu erhalten.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+9x-22=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 9 und c durch -22, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -22.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-88}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 81 zu -88.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{7}i}{-2}$$

Dividieren Sie -9+i\sqrt{7} durch -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{7} von -9.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-9}{-2}$$

Dividieren Sie -9-i\sqrt{7} durch -2.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2} x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x-3 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-5x+6" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Kombinieren Sie 4x und 5x, um 9x zu erhalten.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von -16, um -22 zu erhalten.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 22 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$9x-x^{2}=22$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+9x=22$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{22}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{22}{-1}$$

Dividieren Sie 9 durch -1.

$$x^{2}-9x=\frac{22}{-1}$$

Dividieren Sie 22 durch -1.

$$x^{2}-9x=-22$$

Dividieren Sie -9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-22+\frac{81}{4}$$

Addieren Sie -22 zu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$