2/x-3+3/x-2=3 lösen

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 3 zu multiplizieren.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombinieren Sie 2x und 3x, um 5x zu erhalten.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtrahieren Sie 9 von -4, um -13 zu erhalten.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-3 zu multiplizieren.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-9 mit x-2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Auf beiden Seiten 15x addieren.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombinieren Sie 5x und 15x, um 20x zu erhalten.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Subtrahieren Sie 18 von beiden Seiten.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Subtrahieren Sie 18 von -13, um -31 zu erhalten.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 20 und c durch -31, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 400 zu -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Dividieren Sie -20+2\sqrt{7} durch -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Dividieren Sie -20-2\sqrt{7} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 3 zu multiplizieren.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombinieren Sie 2x und 3x, um 5x zu erhalten.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtrahieren Sie 9 von -4, um -13 zu erhalten.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-3 zu multiplizieren.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-9 mit x-2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Auf beiden Seiten 15x addieren.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombinieren Sie 5x und 15x, um 20x zu erhalten.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Auf beiden Seiten 13 addieren.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Addieren Sie 18 und 13, um 31 zu erhalten.

$$20x-3x^{2}=31$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Dividieren Sie 20 durch -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Dividieren Sie 31 durch -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{20}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{10}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{10}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Addieren Sie -\frac{31}{3} zu \frac{100}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$