2/x=4x+7/5x^2+1 lösen

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(5x^{2}+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 4x+7 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -4x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+2=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-4 b=-3$$

6x^{2}-7x+2 als \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(5x^{2}+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 4x+7 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -4x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+2=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -7 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 49 zu -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±1}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±1}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(5x^{2}+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 4x+7 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -4x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+2=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{49}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Addieren Sie \frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$