10/x^2-2x-8+5/x+2+1=0 lösen

$$\frac{ 10 }{ { x }^{ 2 } -2x-8 } + \frac{ 5 }{ x+2 } +1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 5 zu multiplizieren.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 10, um -10 zu erhalten.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Kombinieren Sie 5x und -2x, um 3x zu erhalten.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von -10, um -18 zu erhalten.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+3x-18 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-3 b=6$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 5 zu multiplizieren.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 10, um -10 zu erhalten.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Kombinieren Sie 5x und -2x, um 3x zu erhalten.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von -10, um -18 zu erhalten.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-3 b=6$$

x^{2}+3x-18 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 5 zu multiplizieren.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 10, um -10 zu erhalten.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Kombinieren Sie 5x und -2x, um 3x zu erhalten.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von -10, um -18 zu erhalten.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -18.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 72.

$$x=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-3±9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±9}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 9.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±9}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,4" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-4\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 5 zu multiplizieren.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 10, um -10 zu erhalten.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Kombinieren Sie 5x und -2x, um 3x zu erhalten.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von -10, um -18 zu erhalten.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 18 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$3x+x^{2}=18$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x=18$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 18 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=3 x=-6$$