1/9x^2+x+9/4=0 lösen

$$\frac{ 1 }{ 9 } { x }^{ 2 } +x+ \frac{ 9 }{ 4 } =0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{9}, b durch 1 und c durch \frac{9}{4}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie -\frac{4}{9} mit \frac{9}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-1}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Addieren Sie 1 zu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{1}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{9}.

$$x=-\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Dividieren Sie -1 durch \frac{2}{9}, indem Sie -1 mit dem Kehrwert von \frac{2}{9} multiplizieren.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

\frac{9}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$$

Die Subtraktion von \frac{9}{4} von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}+x}{\frac{1}{9}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Division durch \frac{1}{9} macht die Multiplikation mit \frac{1}{9} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{9}}x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Dividieren Sie 1 durch \frac{1}{9}, indem Sie 1 mit dem Kehrwert von \frac{1}{9} multiplizieren.

$$x^{2}+9x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{4} durch \frac{1}{9}, indem Sie -\frac{9}{4} mit dem Kehrwert von \frac{1}{9} multiplizieren.

$$x^{2}+9x=-\frac{81}{4}$$

Dividieren Sie 9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{-81+81}{4}$$

Addieren Sie -\frac{81}{4} zu \frac{81}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=0$$

Faktor x^{2}+9x+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{9}{2}=0 x+\frac{9}{2}=0$$

\frac{9}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{9}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=-\frac{9}{2}$$