1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3 lösen

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2,375+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2,375-1,452368755i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Der Bruch \frac{-2}{3} kann als -\frac{2}{3} umgeschrieben werden, indem das negative Vorzeichen extrahiert wird.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{6} und -\frac{2}{3}, um -\frac{1}{9} zu erhalten.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{1}{9} mit 4x+5 zu multiplizieren.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} mit 2x+7 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von -\frac{35}{9}, um -\frac{62}{9} zu erhalten.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -\frac{8}{9}, b durch -\frac{38}{9} und c durch -\frac{62}{9}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{38}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplizieren Sie \frac{32}{9} mit -\frac{62}{9}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Addieren Sie \frac{1444}{81} zu -\frac{1984}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Das Gegenteil von -\frac{38}{9} ist \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{38}{9} zu \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Dividieren Sie \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} durch -\frac{16}{9}, indem Sie \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{16}{9} multiplizieren.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{2i\sqrt{15}}{3} von \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Dividieren Sie \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} durch -\frac{16}{9}, indem Sie \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{16}{9} multiplizieren.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Der Bruch \frac{-2}{3} kann als -\frac{2}{3} umgeschrieben werden, indem das negative Vorzeichen extrahiert wird.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{6} und -\frac{2}{3}, um -\frac{1}{9} zu erhalten.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{1}{9} mit 4x+5 zu multiplizieren.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} mit 2x+7 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Auf beiden Seiten \frac{35}{9} addieren.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

Addieren Sie 3 und \frac{35}{9}, um \frac{62}{9} zu erhalten.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Beide Seiten der Gleichung durch -\frac{8}{9} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Division durch -\frac{8}{9} macht die Multiplikation mit -\frac{8}{9} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Dividieren Sie -\frac{38}{9} durch -\frac{8}{9}, indem Sie -\frac{38}{9} mit dem Kehrwert von -\frac{8}{9} multiplizieren.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Dividieren Sie \frac{62}{9} durch -\frac{8}{9}, indem Sie \frac{62}{9} mit dem Kehrwert von -\frac{8}{9} multiplizieren.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Dividieren Sie \frac{19}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{19}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{19}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{19}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

Addieren Sie -\frac{31}{4} zu \frac{361}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

\frac{19}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$