-1/x-1+1/x+1=2/x+2 lösen

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}+3x+2 mit -1 zu multiplizieren.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kombinieren Sie -x^{2} und x^{2}, um 0 zu erhalten.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kombinieren Sie -3x und x, um -2x zu erhalten.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Subtrahieren Sie 2 von -2, um -4 zu erhalten.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}-1 mit 2 zu multiplizieren.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

Addieren Sie -4 und 2, um -2 zu erhalten.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch -2 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 4 zu -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{3} durch -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{3} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{3} durch -4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}+3x+2 mit -1 zu multiplizieren.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kombinieren Sie -x^{2} und x^{2}, um 0 zu erhalten.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kombinieren Sie -3x und x, um -2x zu erhalten.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Subtrahieren Sie 2 von -2, um -4 zu erhalten.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}-1 mit 2 zu multiplizieren.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

Addieren Sie -2 und 4, um 2 zu erhalten.

$$-2x-2x^{2}=2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}-2x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie -2 durch -2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$x^{2}+x=-1$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$