x/x-1=8x+1/x-1 lösen

$$\frac { x } { x - 1 } = 8 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8x mit x-1 zu multiplizieren.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Subtrahieren Sie 8x^{2} von beiden Seiten.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Auf beiden Seiten 8x addieren.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Kombinieren Sie x und 8x, um 9x zu erhalten.

$$9x-8x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$9x-8x^{2}-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-8x^{2}+9x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -8, b durch 9 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+32\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 32 mit -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2\left(-8\right)}$$

Addieren Sie 81 zu -32.

$$x=\frac{-9±\sqrt{49}}{2\left(-8\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-9±7}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -8.

$$x=\frac{-9±7}{-16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±7}{-16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 7.

$$x=-\frac{2}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±7}{-16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -9.

$$x=-\frac{16}{-16}$$

Dividieren Sie -16 durch -16.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{8} x=1$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=\frac{1}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8x mit x-1 zu multiplizieren.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Subtrahieren Sie 8x^{2} von beiden Seiten.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Auf beiden Seiten 8x addieren.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Kombinieren Sie x und 8x, um 9x zu erhalten.

$$9x-8x^{2}=1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-8x^{2}+9x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -8.

$$\frac{-8x^{2}+9x}{-8}=\frac{1}{-8}$$

Division durch -8 macht die Multiplikation mit -8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{-8}x=\frac{1}{-8}$$

Dividieren Sie 9 durch -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=\frac{1}{-8}$$

Dividieren Sie 1 durch -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{8} zu \frac{81}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=\frac{1}{8}$$