x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x lösen

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,0,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+6 mit x zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-12 mit 2 zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -6x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Auf beiden Seiten 24 addieren.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplizieren Sie -1 und 5, um -5 zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Kombinieren Sie 6x und -5x, um x zu erhalten.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=9 b=-8$$

-3x^{2}+x+24 als \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+3=0 und 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,0,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+6 mit x zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-12 mit 2 zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -6x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Auf beiden Seiten 24 addieren.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplizieren Sie -1 und 5, um -5 zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Kombinieren Sie 6x und -5x, um x zu erhalten.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 1 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±17}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±17}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dividieren Sie -18 durch -6.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,0,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+6 mit x zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-12 mit 2 zu multiplizieren.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -6x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Multiplizieren Sie -1 und 5, um -5 zu erhalten.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Kombinieren Sie 6x und -5x, um x zu erhalten.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Dividieren Sie 1 durch -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Dividieren Sie -24 durch -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie 8 zu \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$