x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2 lösen

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit x zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit 6 zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Addieren Sie 18 und 27, um 45 zu erhalten.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Kombinieren Sie -3x und -6x, um -9x zu erhalten.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 45 von beiden Seiten.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-45 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -90 ergeben.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-15 b=6$$

2x^{2}-9x-45 als \left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-15=0 und x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Die Variable x kann nicht gleich -3 sein.

$$x=\frac{15}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit x zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit 6 zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Addieren Sie 18 und 27, um 45 zu erhalten.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Kombinieren Sie -3x und -6x, um -9x zu erhalten.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 45 von beiden Seiten.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -9 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±21}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{15}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±21}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie -12 durch 4.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Die Variable x kann nicht gleich -3 sein.

$$x=\frac{15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit x zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit 6 zu multiplizieren.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Addieren Sie 18 und 27, um 45 zu erhalten.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Kombinieren Sie -3x und -6x, um -9x zu erhalten.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}-9x=45$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie \frac{45}{2} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Die Variable x kann nicht gleich -3 sein.

$$x=\frac{15}{2}$$