x/5=y/4;y/3=x/3-1 lösen

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Nach x, y auflösen

$$x=15$$

$$y=12$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 20, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,4.

$$4x=5y$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{4} mit 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Ersetzen Sie x durch \frac{5y}{4} in der anderen Gleichung, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Addieren Sie -\frac{5y}{4} zu y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit -4.

$$y=12$$

Ersetzen Sie in x=\frac{5}{4}y y durch 12. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplizieren Sie \frac{5}{4} mit 12.

$$x=15$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=15,y=12$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 20, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,4.

$$4x=5y$$

Subtrahieren Sie 5y von beiden Seiten.

$$4x-5y=0$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3.

$$y=x-3$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$y-x=-3$$

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=15,y=12$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 20, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,4.

$$4x=5y$$

Subtrahieren Sie 5y von beiden Seiten.

$$4x-5y=0$$

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3.

$$y=x-3$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$y-x=-3$$

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Um 4x und -x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit -1 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Vereinfachen.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Subtrahieren Sie -4x+4y=-12 von -4x+5y=0, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Addieren Sie -4x zu 4x. Die Terme -4x und 4x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$5y-4y=12$$

Addieren Sie 5y zu -4y.

$$y=12$$

Ersetzen Sie in -x+y=-3 y durch 12. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$-x+12=-3$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$x=15$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=15,y=12$$