x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0 lösen

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Dividieren Sie 4+2\sqrt{5} durch 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Dividieren Sie 4-2\sqrt{5} durch 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Auf beiden Seiten 1 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$x^{2}-4x=1$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Addieren Sie 1 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$