x^2/9-4/3x=-2 lösen

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Nach x auflösen

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{9}, b durch -\frac{4}{3} und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie -\frac{4}{9} mit 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Addieren Sie \frac{16}{9} zu -\frac{8}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Das Gegenteil von -\frac{4}{3} ist \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dividieren Sie \frac{4+2\sqrt{2}}{3} durch \frac{2}{9}, indem Sie \frac{4+2\sqrt{2}}{3} mit dem Kehrwert von \frac{2}{9} multiplizieren.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{2\sqrt{2}}{3} von \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dividieren Sie \frac{4-2\sqrt{2}}{3} durch \frac{2}{9}, indem Sie \frac{4-2\sqrt{2}}{3} mit dem Kehrwert von \frac{2}{9} multiplizieren.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Division durch \frac{1}{9} macht die Multiplikation mit \frac{1}{9} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3} durch \frac{1}{9}, indem Sie -\frac{4}{3} mit dem Kehrwert von \frac{1}{9} multiplizieren.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dividieren Sie -2 durch \frac{1}{9}, indem Sie -2 mit dem Kehrwert von \frac{1}{9} multiplizieren.

$$x^{2}-12x=-18$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Addieren Sie -18 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Vereinfachen.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$