x^2+6x-7/3x^2-x-2=5 lösen

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{2}{3},1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-1 zu multiplizieren.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x-5 mit 3x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombinieren Sie x^{2} und -15x^{2}, um -14x^{2} zu erhalten.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Auf beiden Seiten 5x addieren.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombinieren Sie 6x und 5x, um 11x zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Auf beiden Seiten 10 addieren.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Addieren Sie -7 und 10, um 3 zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -14x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=14 b=-3$$

-14x^{2}+11x+3 als \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right) umschreiben.

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Klammern Sie 14x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+1=0 und 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{2}{3},1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-1 zu multiplizieren.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x-5 mit 3x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombinieren Sie x^{2} und -15x^{2}, um -14x^{2} zu erhalten.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Auf beiden Seiten 5x addieren.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombinieren Sie 6x und 5x, um 11x zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Auf beiden Seiten 10 addieren.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Addieren Sie -7 und 10, um 3 zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -14, b durch 11 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie 56 mit 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Addieren Sie 121 zu 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±17}{-28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{-28} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±17}{-28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Dividieren Sie -28 durch -28.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{2}{3},1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-1 zu multiplizieren.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x-5 mit 3x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombinieren Sie x^{2} und -15x^{2}, um -14x^{2} zu erhalten.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Auf beiden Seiten 5x addieren.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombinieren Sie 6x und 5x, um 11x zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Auf beiden Seiten 7 addieren.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Addieren Sie -10 und 7, um -3 zu erhalten.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

Division durch -14 macht die Multiplikation mit -14 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Dividieren Sie 11 durch -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Dividieren Sie -3 durch -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{14}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{28} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{28} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{28}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu \frac{121}{784}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Addieren Sie \frac{11}{28} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=-\frac{3}{14}$$