f/11=g/33text{siendo}f+g=40 lösen

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Nach f, g auflösen

$$f=10$$

$$g=30$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 33, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 11,33.

$$3f=g$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Ersetzen Sie f durch \frac{g}{3} in der anderen Gleichung, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Addieren Sie \frac{g}{3} zu g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{4}{3} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$g=30$$

Ersetzen Sie in f=\frac{1}{3}g g durch 30. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für f auflösen.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{3} mit 30.

$$f=10$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$f=10,g=30$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 33, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 11,33.

$$3f=g$$

Subtrahieren Sie g von beiden Seiten.

$$3f-g=0$$

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente f und g.

$$f=10,g=30$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 33, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 11,33.

$$3f=g$$

Subtrahieren Sie g von beiden Seiten.

$$3f-g=0$$

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Um 3f und f gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 1 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Vereinfachen.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Subtrahieren Sie 3f+3g=120 von 3f-g=0, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Addieren Sie 3f zu -3f. Die Terme 3f und -3f heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$-g-3g=-120$$

Addieren Sie -g zu -3g.

$$-4g=-120$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$g=30$$

Ersetzen Sie in f+g=40 g durch 30. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für f auflösen.

$$f+30=40$$

30 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$f=10$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$f=10,g=30$$