75/x=75/x+15+1/4 lösen

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Nach x auflösen

$$x=-75$$

$$x=60$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-15,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4x\left(x+15\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x+60 mit 75 zu multiplizieren.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und 75, um 300 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und \frac{1}{4}, um 1 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+15 zu multiplizieren.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombinieren Sie 300x und 15x, um 315x zu erhalten.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 315x von beiden Seiten.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombinieren Sie 300x und -315x, um -15x zu erhalten.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+4500 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4500 ergeben.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=60 b=-75$$

-x^{2}-15x+4500 als \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 75 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+60 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+60=0 und x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-15,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4x\left(x+15\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x+60 mit 75 zu multiplizieren.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und 75, um 300 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und \frac{1}{4}, um 1 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+15 zu multiplizieren.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombinieren Sie 300x und 15x, um 315x zu erhalten.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 315x von beiden Seiten.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombinieren Sie 300x und -315x, um -15x zu erhalten.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -15 und c durch 4500, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 225 zu 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±135}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Dividieren Sie 150 durch -2.

$$x=-75$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±135}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 135 von 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Dividieren Sie -120 durch -2.

$$x=60$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-75 x=60$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-15,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4x\left(x+15\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x+60 mit 75 zu multiplizieren.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und 75, um 300 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie 4 und \frac{1}{4}, um 1 zu erhalten.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+15 zu multiplizieren.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombinieren Sie 300x und 15x, um 315x zu erhalten.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahieren Sie 315x von beiden Seiten.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombinieren Sie 300x und -315x, um -15x zu erhalten.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 4500 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividieren Sie -15 durch -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividieren Sie -4500 durch -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Dividieren Sie 15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie 4500 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Faktor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

\frac{15}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=60 x=-75$$