frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4 lösen

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Nach k auflösen

$$k=-1$$

$$k=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(k^{2}+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 6 mit k^{4}+2k^{2}+1 zu multiplizieren.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Um das Gegenteil von "9k^{4}-6k^{2}+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 6k^{4} und -9k^{4}, um -3k^{4} zu erhalten.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 12k^{2} und 6k^{2}, um 18k^{2} zu erhalten.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 1 von 6, um 5 zu erhalten.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit -3k^{4}+18k^{2}+5 zu multiplizieren.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 9k^{4}+6k^{2}+1 zu multiplizieren.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 45k^{4} von beiden Seiten.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Kombinieren Sie -12k^{4} und -45k^{4}, um -57k^{4} zu erhalten.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 30k^{2} von beiden Seiten.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Kombinieren Sie 72k^{2} und -30k^{2}, um 42k^{2} zu erhalten.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 20, um 15 zu erhalten.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Ersetzen Sie k^{2} durch t.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -57, b durch 42 und c durch 15.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Lösen Sie die Gleichung t=\frac{-42±72}{-114}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Da k=t^{2}, werden die Lösungen durch die Auswertung von k=±\sqrt{t} für positive t abgerufen.

$$k=1 k=-1$$

Nach k auflösen (komplexe Lösung)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$