5x/4-3/x=1/4 lösen

$$\frac { 5 x } { 4 } - \frac { 3 } { x } = \frac { 1 } { 4 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{241} + 1}{10} \approx 1,65241747$$

$$x=\frac{1-\sqrt{241}}{10}\approx -1,45241747$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4x, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 4,x.

$$x\times 5x-4\times 3=x$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}\times 5-4\times 3=x$$

Multiplizieren Sie -4 und 3, um -12 zu erhalten.

$$x^{2}\times 5-12=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$x^{2}\times 5-12-x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -1 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+240}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1 zu 240.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{241}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{241}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{1±\sqrt{241}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{241}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu \sqrt{241}.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{241}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{241} von 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{10} x=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4x, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 4,x.

$$x\times 5x-4\times 3=x$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}\times 5-4\times 3=x$$

Multiplizieren Sie -4 und 3, um -12 zu erhalten.

$$x^{2}\times 5-12=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$x^{2}\times 5-12-x=0$$

Auf beiden Seiten 12 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$x^{2}\times 5-x=12$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{12}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{12}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{12}{5}+\frac{1}{100}$$

Addieren Sie \frac{12}{5} zu \frac{1}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{241}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{241}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{241}}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{241}}{10}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{241}+1}{10} x=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$